LHA — Fundamentos Teóricos + Falseabilidade (V2)

Preâmbulo Teórico — A visão que sustenta o algoritmo

Unidade inquebrável: cada inteiro é uma unidade indivisível da régua numérica.
Dobra e pertencimento: compostos surgem de "dobras" (fatores) que cobrem o ímpar; primos são as sobras que escapam a todas as dobras em um ciclo.
Ciclos G1/G2/G3: níveis (G1, G2, G3, G2, ...) descrevem a simetria triangular dos primos; o eixo Y é fixo e o X dilata conforme os gaps.
Régua primal 1–6: o fenômeno efetivo organiza-se em classes mod 6; a “régua humana” (1–9) é uma dilatação conveniente, mas não fundamental.
Primos gêmeos: encerram e reiniciam ciclos (Âncoras), sustentando sua infinitude como consequência estrutural.
Zonas de inércia: crescem com a magnitude — mais inteiros “dobram a malha”, explicando a rarefação dos primos.

O U_uni (algoritmo determinístico) é uma consequência computacional desta visão geométrica/posicional.

Postulados e Provas

Notação

Roda (M): filtro de resíduos coprimos (ex.: M=210).
S_p(n): resto posicional, calculado dígito a dígito (método de Horner), com S_p(n) ≡ n (mod p).
k: número de dígitos de n B(k): 10^⌈k/2⌉.
P_k: {p primo | p ≤ B(k)}.

Proposição 1 (Cobertura por magnitude)

Enunciado. Para n com k dígitos, √n ≤ 10^⌈k/2⌉. Logo, se nenhum p ∈ P_k divide n, então n é primo.

Prova. Se 10^k−1 ≤ n < 10^k, então √n < 10^k/2 ≤ 10^⌈k/2⌉. Todo composto n=ab possui um fator primo ≤ √n, portanto em P_k. Se ∀p∈P_k temos S_p(n) ≠ 0 (e n≠p), n é primo. □

Corolário 1 (Determinismo)

O teste U_uni que verifica S_p(n) para todos p∈P_k é 100% determinístico, pois B(k) ≥ √n para todo n com k dígitos. Nota: a prova cita √n como limite teórico; o algoritmo não calcula √n.

Algoritmo U_uni (régua por dígitos) — Implementação

Pseudocódigo

isPrime_Uuni(n):
  if n < 2: return False
  if n in {2,3,5,7}: return True
  // Roda forte
  M = 210; if (n % M) ∉ Res(M): return False
  k = ndigits(n); B = 10^ceil(k/2)
  P_k = { p primo | p ≤ B }  // cache por k
  for p in P_k:
      if S_p(n) == 0 and n != p: return False
  return True

Complexidade

Geração de P_k por crivo clássico: O(B log log B) tempo, O(B) memória (viável até ~10⁶–10⁷ no navegador).
Teste: |P_k| avaliações S_p(n); cada S_p é O(k) sobre os dígitos ⇒ O(|P_k|·k).
Alternativas: crivo segmentado ou pré-computação de P_k (recomendado para produção).

Diferença vs divisão tradicional

Característica	Divisão/√n	LHA (U_uni)
Como calcula n mod p	Divisão inteira	S_p(n) posicional (Horner)
Limite	√n (cada n)	B(k)=10^⌈k/2⌉ (por categoria k)
Dependência	Do valor de n	Do número de dígitos k

A inovação não é um novo teorema; é uma nova aplicação computacional do teorema clássico, com régua por dígitos e aritmética posicional.

Ferramentas interativas (teste e auditor)

Refino (k, k+1, k+2)

Intervalo: início

Intervalo: fim

Lei (U_uni)

—

Auditor

—

Concordância

—

Limite B(k)

—

Casos clássicos (Carmichael, etc.)

Resposta às observações da revisão (DeepSeek)

Rigor matemático: adicionada a prova formal √n ≤ 10^⌈k/2⌉ e revisão de notação (conjuntos com {…}).
Tradução: “wheel” → roda; “score” → pontuação.
Complexidade: detalhada; recomendada pré-computação/segmentado para grandes B(k).
Validação: ferramenta para intervalos personalizados e casos clássicos (Carmichael) incluída abaixo.
U_dir+: mantido como apêndice (ver V1) — expandir em anexo técnico dedicado.

LHA — Fundamentos Teóricos + Falseabilidade V2 • 2025-08-28 21:16:53